接下来以解四元一次方程组：{2a+3b+d=-4; 2b+2c+3d=-7; a+c+d=0; a+2b-c+3d=-12}为例，来讲解如何利用最简形矩阵解线性方程组，以及如何将矩阵转化为行最简形矩阵。这个方程组的系数构成的矩阵是：[2,3,0,1,-4; 0,2,2,3,-7; 1,0,1,1,0；1,2,-1,3,-12].

首先交换第1行和第3行，使第一行第一列的元素为1，得到：[1,0,1,1,0; 0,2,2,3,-7; 2,3,0,1,-4；1,2,-1,3,-12].

然后第3行减第1行乘以2，第4行减第1行，把第一列除了第一个元素之外，都化为0，得到：[1,0,1,1,0; 0,2,2,3,-7; 0,3,-2,-1,-4；0,2,-2,2,-12].

接下来可以用第2行乘以二分之一把第二行第二列的元素化为1，也可以用第2行减第4行乘以二分之一。因为前者会产生分数，造成运算的麻烦，所以选择后者，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,3,-2,-1,-4；0,2,-2,2,-12].

用第3行减第2行乘以3，第4行减第2行乘以2，将第二列除了第二个元素之外，都化为0，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,-11,-7,-1；0,0,-8,-2,-10].

第3行除以-11，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,7/11,1/11；0,0,-8,-2,-10].

第4行加第3行乘以8，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,7/11,1/11；0,0,0,34/11,-102/11].

第4行乘以11/34，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,7/11,10/11；0,0,0,1,-3].

第3行减第4行乘7/11，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,0,2；0,0,0,1,-3].

第2行减第3行乘3再减第4行乘2，得到：[1,0,1,1,0; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,0,2；0,0,0,1,-3].

最后第1行减第3行再减第4行，就得到最简形矩阵：[1,0,0,0,1; 0,1,3,2,-1; 0,0,1,0,2；0,0,0,1,-3].

由此可以得到原方程组的解为：{a=1,b=-1,c=2,d=-3}.

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