简单的连杆机构可以进行复杂的运动

由理想转动副连接刚体连杆形成的系统，可以由一组的组态参数来定义其位置，例如在转动副上连杆旋转的角度，或是移动副上滑块相对邻近连杆的距离。由于连杆的几何限制，只要有组态参数中的最小集，即可计算所有的组态参数。最小集即为“输入参数”。输入参数的个数称为连杆系统的可动性（mobility）或自由度。

由n个刚体组成的系统，相对于固定架，会有6n个自由度。若将固定架也算在内，刚体个数N = n + 1，而可动性M = 6(N − 1)，可动性不受选择哪一个刚体为固定架所影响。

连接刚体的连接会让系统的自由度以及可动性减少。转动副和移动副会增加五个限制条件，因此自由度会减5，为了方便起见，可以将连接的限制条件数c用连接的自由度f来表示，c = 6 − f。若以转动副和移动副的例子来看，其自由度为1，f = 1，因此c = 6 − 1 = 5。

因此，n个可动连杆以及j的连接（其自由度分别为fi, i = 1, ..., j）的连杆系统，可动性可以计算如下

M

=

6

n

−

∑

i

=

1

j

(

6

−

f

i

)

=

6

(

N

−

1

−

j

)

+

∑

i

=

1

j

f

i

,

{\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}(6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}

其中的N是包括固定杆件的数量。这称为Chebychev–Grübler-Kutzbach公式（英语：Chebychev–Grübler–Kutzbach_criterion）。

有二个重要的特例：简单开放运动键（simple open chain）及简单封闭运动键（simple closed chain）。

简单开放运动键中包括n个可动件，各可动件的端点由ｊ个连接相连，其中一个连到固定杆，因此，N = j + 1，可动性为

M

=

∑

i

=

1

j

f

i

.

{\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}.}

简单封闭运动键中包括n个可动件，各可动件的端点由n+1个连接相连，有二个连接接到固定杆，形成一封闭回路。此时，N=j，可动性为

M

=

∑

i

=

1

j

f

i

−

6.

{\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6.}

简单开放运动键的例子是串联的机械手臂。机械手臂由许多连杆组成，有六个单一自由度的转动副或移动副组成，因此系统有6个自由度。

简单封闭运动键的例子是由二个转动副（R）和二个移动副（S）组成的RSSR空间四连杆。三个连接的自由度总和为8，因此连杆的自由度为2

平面及球面上的运动

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连杆可动性

钳是个四连杆的例子，有一个[自由度，若考虑其可调底座枢轴，即为二自由度的五连杆（英语：Five-bar linkage）

常见的连杆系统其运动会限制在互相平行平面上，因此这种连杆会称为“平面连杆”。也有可能连杆系统其运动会限制在同球心的球面上,形成“球面连杆”。这二种连杆中，每一个杆件的自由度只有3，因此每个连接的限制为c = 3 − f.

可动性公式为

M

=

3

(

N

−

1

−

j

)

+

∑

i

=

1

j

f

i

,

{\displaystyle M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}

针对以下的特例：

平面或是球面的简单开放运动键

M

=

∑

i

=

1

j

f

i

,

{\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}

平面或是球面的简单封闭运动键

M

=

∑

i

=

1

j

f

i

−

3.

{\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-3.}

平面简单封闭运动键的例子是平面的四连杆，是四连杆封闭回路，有四个自由度为1的连接，因此可动性 M = 1.